Das kenn ich, wir haben vor zwei Jahren in Prenzlauer Berg selbst umgezogen, auch mit Altbau-Treppenhaus. Ein Treppensteiger (manchmal auch Sackkarre mit Treppenautomatik genannt) ist bei schweren Geräten wie der Waschmaschine wirklich Gold wert – kann man bei den meisten Baumärkten tageweise ausleihen. Dazu Möbelroller für den Schrank, damit du ihn zumindest auf geraden Flächen nicht schleppen musst.
Für das Zurren: unbedingt Spanngurte besorgen, und zwar welche mit ordentlichem Zurrschloss, nicht die billigen Dinger vom Discounter. Die Sachen im Transporter diagonal verspannen, damit beim Bremsen nichts nach vorne kippt. Und Decken zwischen die Möbel – das schützt vor Kratzern.